一些數學公式

r : 表示圓半徑
圓周長 2πr

圓面積 πr^2

圓球體積 4/3*πr^3
x : 表示離圓心的距離
y : 表示圓球表面到球中心軸的距離
x^2 + y^2 = r^2
=> y^2 = r^2 - x^2
=> πy^2 = π(r^2 - x^2)
圓球 V = 2 * ∫πy^2  (0..r) = 2 * ∫π(r^2 - x^2) =  2 * (∫πr^2 - ∫πx^2) = 2πr^3 - 1/3*πr^3 = 4/3*πr^3

圓柱體積 πhr^2
h : 表示圓柱高度

圓錐體積 1/3*πhr^2
θ : 表示圓錐尖端夾角的一半
tanθ = r/h
x : 表示距離圓錐尖端的距離
y : 表示 x 位置的圓半徑
y = x * tanθ = xr/h = rx/h
圓錐 V = ∫πy^2  (0..h) = ∫π(rx/h)^2 = ∫(πr^2/h^2)*x^2 = (πr^2/h^2)*∫x^2 = (πr^2/h^2)* 1/3 * h^3
= 1/3*πhr^2

煙囪體積 1/3*πh*((w+y+z+x)^2-(y+x)^2-wz-wx-yz)
x : 表示煙囪頂內緣半徑
y : 表示煙囪底內緣半徑
z : 表示煙囪頂厚度
w : 表示煙囪底厚度

計算一 : 內圓錐體積 1/3*πh*(y^2+xy+x^2)
假設將內圓錐補到完整, 需要加上 a 長度的圓錐
內圓錐 V = 1/3*πy^2*(a+h) - 1/3*πx^2*a = 1/3*π(y^2-x^2)*a + 1/3*πy^2*h
= 1/3*πh*((y^2-x^2)x/(y-x) + y^2) = 1/3*πh*((y^2-x^2)x + (y-x)*y^2)/(y-x)
= 1/3*πh*(xy^2-x^3+y^3-xy^2)/(y-x) = 1/3*πh*(y^3-x^3)/(y-x)
= 1/3*πh*(y-x)(y^2+xy+x^2)/(y-x) = 1/3*πh*(y^2+xy+x^2)

計算二 : 外圓錐體積 1/3*πh*((w+y)^2+(w+y)(z+x)+(z+x)^2)
w+y : 表示煙囪底外緣半徑
z+x : 表示煙囪頂外緣半徑

計算三 : 煙囪體積 1/3*πh*((w+y+z+x)^2-(y+x)^2-wz-wx-yz)
煙囪 V = 1/3*πh*((w+y)^2+(w+y)(z+x)+(z+x)^2) - 1/3*πh*(y^2+xy+x^2)
= 1/3*πh*(((w+y)^2+(w+y)(z+x)+(z+x)^2) - (y^2+xy+x^2))
= 1/3*πh*(((w+y)+(z+x))^2-(w+y)(z+x)-((y+x)^2-xy))
= 1/3*πh*((w+y+z+x)^2-wz-wx-yz-xy-(y+x)^2+xy)
= 1/3*πh*((w+y+z+x)^2-(y+x)^2-wz-wx-yz)